今年高考又帶出了多少話題和熱點(diǎn)？高考作文題目、高考路途暖心事、高考數(shù)學(xué)，都引起了大家的熱烈討論。其中高考數(shù)學(xué)在開(kāi)考當(dāng)天，就榮登媒體微博熱搜第二。
話題里多是考生與老師們對(duì)于題目難度過(guò)高的討論，甚至有考生做題時(shí)直接落淚，讓人感慨萬(wàn)分。老師們紛紛表示：的確難！
同時(shí)，老師們也在分析為什么難，從中找原因。i3DOne社區(qū)創(chuàng)客導(dǎo)師、廣州開(kāi)發(fā)區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校的通用技術(shù)教師彭振建指出，造成難度大的其中一個(gè)原因是，面臨幾何方面的考題，多數(shù)考生因?yàn)榱Ⅲw空間感差，例如不能正確識(shí)別正四棱錐和球之間的關(guān)系；另外無(wú)法使用三視圖（主、俯視圖）來(lái)分析，僅用常規(guī)斜二測(cè)平面立體圖，很容易找不著北。
針對(duì)這個(gè)難點(diǎn)，i3DOne社區(qū)主編林Sir建議彭老師，是否可以從另外角度尋找?guī)椭鷮W(xué)生們提高解題能力的方法，例如用三維創(chuàng)意設(shè)計(jì)軟件3D One，作為學(xué)習(xí)研究立體幾何的工具，對(duì)數(shù)學(xué)幾何題做個(gè)剖析講解。雖然彭振建老師抱著試一試的心態(tài)進(jìn)行解題，但他的解題過(guò)程，卻讓人眼前一亮，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)幾何題，在3D One軟件里立體呈現(xiàn)出來(lái)，下面我們一起來(lái)看看彭老師是怎么用3D One進(jìn)行高考數(shù)學(xué)解答：
2002的第一場(chǎng)雪，2022的第一道立體幾何
廣州開(kāi)發(fā)區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 彭振建
我和i3DOne社區(qū)主編林Sir相識(shí)多年，正如刀郎的2002的第一場(chǎng)雪，林Sir給我來(lái)個(gè)2022的第一道立體幾何。題目大致如下：
林Sir的2022第一道題不亞于2002的第一場(chǎng)雪，很久不做數(shù)學(xué)了，幸好沒(méi)忘記棱臺(tái)體積公式。這條題可以說(shuō)是送分題，只要科學(xué)計(jì)數(shù)法沒(méi)錯(cuò)，計(jì)算細(xì)心點(diǎn)、慢點(diǎn)，一般學(xué)生全拿5分沒(méi)問(wèn)題。
所以上題答案應(yīng)選C。
剛才這道題像幾年前廣州的那一場(chǎng)“雪”，讓我這個(gè)南方人感的是那么興奮。林Sir毫不客氣地潑下一捧雪，再來(lái)一題如下：
8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l, 其各項(xiàng)點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤3根號(hào)3, 該正四棱錐體積的取值范圍是( )
A.[18,81/4]; B.[27/4,84/4]; C.[27/4,64/3]; D.[18,27]
球體的體積公式為：V球體=4/3·Π·r3=36Π；直接可以推導(dǎo)出球體半徑為：r=3；
用林Sir最愛(ài)的3D One將此球體繪制為：
若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)取值范圍，先看最小值“l(fā)=3”，在3D One中繪制該四棱錐如下：
不難想象正四棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)在（0,0,3），底面正方形的四點(diǎn)位于紅藍(lán)兩圓的交界圓上。將紅、藍(lán)兩球體組合減編輯得到交界圓，以交界圓為平面繪制圓內(nèi)接正方形后與點(diǎn)（0,0,3）進(jìn)行“起點(diǎn)到輪廓”正常放樣得正四棱錐。放樣后利用3D One的“距離測(cè)量”工具驗(yàn)證正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，如下：
將上圖在3D One Plus (x64)中轉(zhuǎn)換成三視圖，尺寸標(biāo)注驗(yàn)證如下：
根據(jù)3D One Plus 尺寸標(biāo)注得到的數(shù)據(jù)可計(jì)算正四棱錐的體積為：3.67×3.67×1.5÷3≈6.73，先排除選項(xiàng)A、D?？赡苡行┩瑢W(xué)會(huì)說(shuō)通用技術(shù)老師作弊，其實(shí)過(guò)程中還有一個(gè)條件r=3需要充分利用。
講到這里稍息暫停一下，剛進(jìn)來(lái)的同學(xué)可能對(duì)3D One建模軟件在立體幾何中的初步呈現(xiàn)感到很新鮮，而數(shù)學(xué)老師看了以后覺(jué)得多此一舉，可以直接利用斜二測(cè)畫(huà)法將題意立體圖形繪制后分析講解。這也許就是師生之間的“隔閡”了，使用3D One的用意在于：利用軟件動(dòng)態(tài)觀察的優(yōu)勢(shì)讓一部分立體感還未完全建立起來(lái)的同學(xué)，能將3D模型與老師繪制的“平面立體圖”或“三視圖”聯(lián)系起來(lái)，才有后續(xù)分析的可能。
對(duì)于本題，我選用了“三視圖”中主、俯視圖進(jìn)行分析；利用3D One Plus 進(jìn)行3D與三視圖之間的轉(zhuǎn)化詳情可參閱《3D One Plus教輔三視構(gòu)成》
下圖展現(xiàn)了3D模型與三視圖（主、俯）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有條件的可以嘗試一下。
對(duì)應(yīng)兩類圖，學(xué)生基本上能認(rèn)識(shí)到“正四棱錐P-ABCD”中各個(gè)頂點(diǎn)都在“球面O”上，其中頂點(diǎn)A、B、C、D在球體中的圓M上。
上圖中三份主、俯視圖，你能想象出它們的立體圖嗎？若有困難可以參考數(shù)學(xué)老師常用的斜二測(cè)。
看到斜二測(cè)一團(tuán)亂麻似的線，估計(jì)立體感不強(qiáng)的學(xué)生奔潰后直接放棄。
我們?cè)倏纯?D One繪制的渲染圖（如下），配以動(dòng)態(tài)視角，感覺(jué)來(lái)了，起碼知道正四棱錐與球、球面之間的位置關(guān)系。
借助3D One的幫助可以將本題斜二測(cè)平面立體圖變換為三視圖（主、俯視圖），即化3D為2D。
說(shuō)到這就不得不說(shuō)人的“惰性”了，如果在立體幾何教學(xué)中有豐富足量的教輔儀器設(shè)備，能為“立體盲”的學(xué)生解決每道題的實(shí)體模型，估計(jì)數(shù)學(xué)老師就是每天有25小時(shí)都辦不到了。3D One可以！許多小學(xué)生都能繪制出像模像樣的3D模型，足以證明其操作的簡(jiǎn)易性，加上數(shù)學(xué)老師的數(shù)模要素，為需要的題目建模講解那是手到拿來(lái)的事情，讓這些“立體盲”的學(xué)生早日脫困也不是一件難事了。大家嘗試讓這些學(xué)生看看以下配圖及并非十分專業(yè)的解析，懇請(qǐng)指教。
由于文字圖片的平面編輯原因，配圖采取不同角度截圖手段合成，不能完全真實(shí)反映出軟件的輔助效果，大家可以在i3DOne社區(qū).搜索“軸承座.Z1”模型，能在電腦上享受360°無(wú)死角地觀察幾何體，如下：
在輔助手段下認(rèn)識(shí)到“三維→二維”邁出了關(guān)鍵一步，接下來(lái)進(jìn)入實(shí)質(zhì)性的“平面分析”。
正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l（3≤l≤√3），需確定其體積范圍。必不可少的公式倒推為：V正四棱錐=S底h/3←S底？、h？←S底？看俯視圖、h？看主視圖←S底(l,α)、h(l,α)。如下圖：
由上圖可得：
VP-ABCD=SABCDhPM/3、
VP'-A'B'C'D'=SA'B'C'D'hP'M'/3、
VP''-A''B''C''D''=SA''B''C''D''hP''M''/3。
先對(duì)比VP-ABCD、VP'-A'B'C'D'大?。河蓤D可知AC＜A'C'、PM＜P'M'；VP-ABCD＜VP'-A'B'C'D'；其實(shí)從上左圖到中圖的正四棱錐的變化過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，四棱錐的底面積變大、高增大，故體積一直增大，VP-ABCD??；再拿VP-ABCD與上中圖到右圖的正四棱錐的體積變化對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，四棱錐中右變化過(guò)程的底面積總比VP-ABCD的底面積、高都大。所以正四棱錐變化過(guò)程中VP-ABCD最小。
VP-ABCD=SABCDhPM/3=（AC·DB/2）·[PC·Cos(60°)]/3
=（2·OC·2·OC/2）·[PC·Cos(60°)]/3
=2·OC2·PC·Cos(60°)/3=2·[PC·Sin(60°)]2·PC·Cos(60°)/3
=2·PC3·Sin2(60°)·Cos(60°)/3=2×33×(3/4)×(1/2)/3
=27/4
觀察題目的四個(gè)選項(xiàng)Vmin=VP-ABCD=27/4，A、[18,81/4]；B、[27/4,81/4]；C、[27/4,64/3]；D、[18,27]?？?strong>直接刪除A、D。
那么如何在50%命中率的基礎(chǔ)下?tīng)?zhēng)取全拿5分呢？我們只需要關(guān)注中、右圖的兩狀態(tài)及其變化過(guò)程。通過(guò)剛才對(duì)Vmin的計(jì)算推導(dǎo)中有：V=2·PC3·Sin2α·Cosα/3。
注意觀察、分析體積的通項(xiàng)公式可以發(fā)現(xiàn)VP-ABCD=f(PC,α)包含兩個(gè)變量，兩種三角函數(shù)，一下子無(wú)法判斷其是否具有單調(diào)性，則無(wú)法判斷Vmax=81/4，投機(jī)取巧的方法是避開(kāi)選項(xiàng)B，選“C、[27/4,64/3]”。
下面我們嘗試推導(dǎo)一下體積通項(xiàng)公式：
正四棱錐體積：VP-ABCD = 144×(1-Cos2α)×Cos4α；下圖為其函數(shù)圖像，可以印證當(dāng)正四棱柱棱長(zhǎng)由l=3 → l=3√2、α=Π/3 → α=Π/4 時(shí)，高、底面積都增大，所以體積增大。
而在l=3 → l=3√3、α=Π/4 → α=Π/6時(shí)，高線性增大、底面積以幾何級(jí)數(shù)減少，但無(wú)法判斷單調(diào)性，即VP'-A'B'C'D'、VP''-A''B''C''D''都不一定為Vmax，此時(shí)只有另辟蹊徑了。
在α∈[Π/6，Π/4[，設(shè)Cos2α=X、（X∈[3/4，2/4]）；
則正四棱錐體積：VP-ABCD(α) = 144×(1-Cos2α)×Cos4α → VP-ABCD(X) = 144(1-X)X2 = 144(X2-X3)；
求導(dǎo)得到：V’P-ABCD(X) = 144(2X-3X2) = 144X(2-3X)；
令V’P-ABCD(X) = 144X(2-3X) = 0 → X = 2/3；
（分析二次函數(shù)V’P-ABCD(X)圖像，X=2/3左邊大于零，VP-ABCD(α)為增函數(shù)；X=2/3右邊小于零，VP-ABCD(α)為減函數(shù)；當(dāng)X=2/3，VP-ABCD(α)為最大值VP-ABCD(α)max）
將 X = 2/3 代入VP-ABCD(X)得到：
VP-ABCD(X)max = 144(X2-X3) = 144×(4/9-8/27) = 144×(12/27-8/27) = 144×4/27 = 64/3；
到此，明確答案選項(xiàng)為C；
A、[18,81/4]；B、[27/4,81/4]；C、[27/4,64/3]；D、[18,27]
完成這道題目我們回顧解析思路：
1、這道題出題時(shí)沒(méi)有配圖的主要原因是考核學(xué)生的閱讀、空間構(gòu)圖能力；
2、由體積為36π球體求出半徑r = 3，考察了球體積公式；
3、明確正四棱錐的體積為：V正四棱錐 = S底h/3，能在空間（三視圖）構(gòu)圖中尋找S底、h的條件；
4、根據(jù)已知條件能反應(yīng)出特殊角度30°、60°的三角函數(shù)值；
5、根據(jù)三視圖（主、俯視圖）分析三角形，含等腰△、等邊△、等腰Rt△、△外角等知識(shí)；
6、三角函數(shù)的二倍角公式：Sin2α = 2SinαCosα、Cos2α = 2Cos2α-1；
7、求導(dǎo)及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)（小于3次）的單調(diào)性和最值。
從解析思路可以看到此題包含眾多考核點(diǎn)，但每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用都不是很難，關(guān)鍵是能跨出第一步，就是解決題圖的三維轉(zhuǎn)二維，這就需要老師拉近與學(xué)生的思想同步，使用更多的手段幫助學(xué)生突破立體感的盲區(qū)，試試3D One。
這個(gè)解題過(guò)程有沒(méi)有讓你眼前一亮呢？高考數(shù)學(xué)原來(lái)還能這樣解！3D One系列軟件，不僅能夠把各類圖形可視化，還充分鍛煉了青少年的想象能力和動(dòng)手能力，這在各科學(xué)習(xí)過(guò)程中都是不可或缺的。所以彭老師說(shuō)，掌握3D One，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)破解立體幾何并不難！
用3D One與學(xué)科融合教學(xué)，提升了教學(xué)思考的層次，學(xué)生在強(qiáng)化學(xué)科素養(yǎng)的同時(shí)，用新的態(tài)度和思維方式去認(rèn)識(shí)世界、感受世界，可以激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，并獲得相應(yīng)的綜合能力，3D One就屬此類融合教學(xué)工具。
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更新時(shí)間：2022-06-17
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